Para analisar a função f(x) definida por:f(x) = 3x + 3, se x ≤ 0f(x) = x² + 4x + 3, se x > 0Precisamos entender o comportamento da função em cada um dos intervalos definidos.
Primeiramente, vamos considerar o intervalo x ≤ 0. Neste caso, a função é linear e pode ser escrita como f(x) = 3x + 3. Para x = 0, temos f(0) = 3(0) + 3 = 3. Para x < 0, a função é decrescente, pois o coeficiente de x é positivo e a função é linear.
Agora, vamos analisar o intervalo x > 0. Neste caso, a função é quadrática e pode ser escrita como f(x) = x² + 4x + 3. Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada de f(x) e igualamos a zero:
f'(x) = 2x + 4. Igualando a zero, temos 2x + 4 = 0, o que nos dá x = -2. No entanto, como estamos considerando apenas x > 0, este ponto crítico não é relevante para este intervalo.
Para entender o comportamento da função quadrática, podemos completar o quadrado ou usar o vértice da parábola. A função pode ser reescrita como f(x) = (x + 2)² – 1. O vértice da parábola é (-2, -1), mas novamente, como estamos considerando apenas x > 0, o vértice não está no intervalo de interesse.
Portanto, para x > 0, a função é uma parábola que abre para cima, pois o coeficiente de x² é positivo. Isso significa que a função é crescente para x > 0.
Em resumo, a função f(x) é decrescente para x ≤ 0 e crescente para x > 0. A função é contínua em x = 0, pois f(0) = 3 em ambos os intervalos.
Podemos ainda verificar a continuidade da função em x = 0. Para x se aproximando de 0 pela esquerda (x → 0-), temos f(x) = 3x + 3 se aproximando de 3. Para x se aproximando de 0 pela direita (x → 0+), temos f(x) = x² + 4x + 3 se aproximando de 3. Portanto, a função é contínua em x = 0.
Além disso, a função é diferenciável em x = 0, pois a derivada existe e é contínua em x = 0. Para x ≤ 0, a derivada é f'(x) = 3. Para x > 0, a derivada é f'(x) = 2x + 4. Em x = 0, a derivada é f'(0) = 4, que é o limite da derivada à direita de x = 0.
